Mathematic shapes

Julia set of an exponential, an object of study in holomorphic dynamical systems. Its shape has been found to be the same as a model from continuum theory in topology: the Lelek fan--also nicknamed the Cantor bouquet--which is an infinite union of lines whose tips are densely distributed near every point on these lines.

Topologie : surfaces de genre 1, 2 et 3.

Modèle quasi-conforme. Le modèle de Ghys pour le disque de Siegel quadratique.

Vue de l'intérieur du dual d'un polytope d'Archimède.

Représentation d'un ensemble de Julia ayant un anneau de Herman. L'algorithme choisi met en valeur la structure feuilletée de l'ensemble de Julia.

Polytope d'Archimède.

Ensemble de Julia ressemblant étonnamment à un chou-fleur, dont les branches sont connues pour être des fractales naturelles. Il est généré par un système dynamique holomorphe. Le motif à carreaux dessiné à l'intérieur représente avec précision une certaine structure liée à ce système, de façon esthétique.

Pavage conforme.

Zoom sur un point critique d'un disque de Siegel. Approximation du domaine de définition de la limite de McMullen.

Polytope d'Archimède.

Coupe d'une surface de Boy semi-transparente. Le surface de Boy peut être vue comme une sphère dont on a recollé deux à deux les points antipodaux, ou un disque dont on a recollé deux à deux les points diamétralement opposés de son bord.

Trois patrons du polytope régulier à 24 cellules.

Ensemble de Julia recouvrant toute la sphère de Riemann. Représentation de la mesure invariante associée à une fonction rationnelle (post-critiquement finie). Elle évoque la lune de Jupiter nommée Callisto.

Polytope d'Archimède.

Monstre abyssal : un disque de Siegel d'une application exponentielle. Ce système dynamique possède un domaine de rotation figuré en blanc, dont la frontière est particulièrement compliquée. Un domaine de rotation pour les nombres complexes est un disque de Siegel. La formule de ce système est basée sur une exponentielle de nombres complexes.

Modèle transparent de la surface de Boy. Le surface de Boy peut être vue comme une sphère dont on a recollé deux à deux les points antipodaux, ou un disque dont on a recollé deux à deux les points diamétralement opposés de son bord.

Pseudo-hedgehog. Model of the critical orbit of some holomorphic dynamical system. The black zone is made of myriads of strands radiating from the center, too densely packed to be resolved at this scale.

Pseudo-hedgehog. Model of the critical orbit of some holomorphic dynamical system. The black zone is made of myriads of strands radiating from the center, too densely packed to be resolved at this scale.

Universalité de l'ensemble de Mandelbrot. On en trouve des copies dans tous les lieux de bifurcation en dynamique holomorphe.

Processus dit d'accouplement de deux ensembles de Julia polynomiaux. Certains ensembles de Julia de fractions rationnelles sont décomposables, comme l'emboîtement d'ensembles de Julia de polynômes. Une astuce permet d'interpoler entre les deux situations. Ce dessin illustre un cas particulier, proche de la fraction rationnelle qu'on obtient à la fin.

Processus de mélange incompressible sur une sphère. Cette procédure mathématique peut modéliser le mélange de deux fluides incompressibles en 2D, de la peinture par exemple.

Ensemble de Julia d'un polynôme quadratique avec un point fixe parabolique ayant plusieurs pétales.

Processus de mélange incompressible sur une sphère. Cette procédure mathématique peut modéliser le mélange de deux fluides incompressibles en 2D, de la peinture par exemple.

Plusieurs patrons de polytopes réguliers.

Quartique de Klein, une courbe complexe très symétrique. Il s'agit d'une surface de Riemann compacte.

Représentation d'un ensemble de Julia ayant un anneau de Herman. L'algorithme choisi met en valeur la structure feuilletée de l'ensemble de Julia.

Groupe de réflexion Kleinien.

Polytope d'Archimède.

Fonction holomorphe conjecturée optimale par Ahlfors et Grunsky, pour le problème de la constante de Bloch. Elle fait se correspondre le pavage hyperbolique de gauche et le pavage euclidien de droite, en envoyant chaque triangle sur un triangle de la même couleur. Tous les sommets sont ramifiés : en faisant le tour d'un sommet à gauche, on fait deux tours du sommet correspondant à droite.

Domaine fondamental dodécaèdrique de l'espace hyperbolique de Seifert-Weber. Le domaine (en blanc) est l'intersection de demi-espaces délimités par des plans hyperboliques (en bleu).

Polytope d'Archimède.

Polytope d'Archimède.

Pavage modulaire hyperbolique. Une grille conforme croît depuis "la pointe".

Disque de Siegel virtuel dans le chou-fleur. Image issue des systèmes dynamiques holomorphes.

Polytope d'Archimède.