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Image "artistique" destinée à montrer que les espaces (en rouge) des libertés individuelles des individus (points blancs) s'arrêtent là où commencent ceux des autres. Elle a été calculée à partir d'un ensemble de points P (marqués en blanc) disposés aléatoirement dans le plan, puis le diagramme dit "de Vorono

Visualisation d'un arbre binaire, c'est-à-dire un arbre dont chaque branche possède deux filles dont les orientations sont ici des multiples de pi/2. Cet arbre possède huit niveaux de branches partant de la racine et donc 256 (=2^8) branches "terminales".

Espace tridimensionnel échantillonné à l'aide de points choisis de façon aléatoire et non homogène. Ces points sont ensuite connectés à plusieurs de leurs plus proches voisins dont le nombre est aussi choisi au hasard.

Espace tridimensionnel échantillonné à l'aide de points choisis de façon aléatoire et non homogène. Ces points sont ensuite connectés à plusieurs de leurs plus proches voisins dont le nombre est aussi choisi au hasard.

Visualisation d'une section tridimensionnelle dans un ensemble de Julia calculé dans un espace à huit dimensions.

Visualisation artistique d'une section tridimensionnelle dans un ensemble de Julia calculé dans un espace à huit dimensions.

Visualisation d'une section tridimensionnelle dans un ensemble de Julia calculé dans un espace à huit dimensions.

Visualisation artistique d'un noeud de trèfle. Les noeuds sont des courbes fermées dans l'espace tridimensionnel qui ne peuvent pas être déformées en un cercle en s'interdisant toute auto-intersection.

Visualisation tridimensionnelle de la dynamique de Verhulst avec une transformation non linéaire des coordonnées. La dynamique de Verhulst est un modèle simple de croissance d'une population qui est ici compliqué par la variabilité du taux de croissance au cours du temps. Seuls sont ici représentés les cas où les systèmes correspondants ne sont pas chaotiques.

Visualisation tridimensionnelle de la dynamique de Verhulst avec une transformation non linéaire des coordonnées. La dynamique de Verhulst est un modèle simple de croissance d'une population qui est ici compliqué par la variabilité du taux de croissance au cours du temps. Seuls sont ici représentés les cas où les systèmes correspondants ne sont pas chaotiques.

Triangulation quasi-aléatoire d'une sphère.

Triangulation quasi-aléatoire d'un tore.

Visualisation de l'itération 5 de l'éponge de Menger. L'éponge de Menger est une structure fractale très régulière obtenue en partant d'un cube que l'on subdivise en 3x3x3=27 petits cubes. Le petit cube central ainsi que les cubes situés aux centres des six faces sont ensuite éliminés. Cette procédure est alors répétée indéfiniment sur les 27-6-1=20 petits cubes restants. A la limite l'objet obtenu possède un volume nul, mais une surface infinie.

Visualisation artistique de l'itération 5 de l'éponge de Menger. L'éponge de Menger est une structure fractale très régulière obtenue en partant d'un cube que l'on subdivise en 3x3x3=27 petits cubes. Le petit cube central ainsi que les cubes situés aux centres des six faces sont ensuite éliminés. Cette procédure est alors répétée indéfiniment sur les 27-6-1=20 petits cubes restants. A la limite l'objet obtenu possède un volume nul, mais une surface infinie.

Spirale d'Ulam montrant sous forme de petits carrés les nombres premiers (le carré rouge représente le nombre 1 qui n'est pas premier). Sont alors coloriés en jaune les carrés qui correspondent aux premiers nombres premiers jumeaux (c'est-à-dire des couples de nombres premiers dont la différence est égale à 2) et par exemple 3-5, 5-7, 11-13, ...

Visualisation d'une surface obtenue en combinant les trois équations paramétriques respectives d'une sphère et d'un tore.

Visualisation d'une surface obtenue en élevant à la puissance trois les trois équations paramétriques d'un tore.

Texture géométrique exhibant trois carrés "fantômes" inclinés à 45 degrés qui apparaissent et disparaissent à volonté suivant le point de la texture qui est regardé.

Visualisation d'un arbre tridimensionnel aléatoire. Chaque branche possède quatre "filles" d'orientations tirées au sort de même que la couleur et la courbure.

Visualisation artistique d'un arbre binaire, c'est-à-dire un arbre dont chaque branche possède deux filles dont les orientations sont ici des multiples de pi/2. Cet arbre possède huit niveaux de branches partant de la racine et donc 256 (=2^8) branches "terminales".

Structure fractale tridimensionnelle faite de sphères voisines de plus en plus petites.

Pavage triangulaire aléatoire du plan. Le nombre d'or (phi) peut être utilisé pour définir deux triangles isocèles de côtés respectifs {1, phi, 1} et {1, 1/phi, 1}. Comme l'a découvert Roger Penrose, ces deux triangles peuvent être utilisés pour paver le plan d'une façon non périodique (chose que l'on a longtemps crue impossible) soit en les utilisant tels quels, soit en les regroupant par deux (de même nature) afin d'obtenir deux types de losange.

Pavage de Penrose pseudo-périodique du plan. Le nombre d'or (phi) peut être utilisé pour définir deux triangles isocèles de côtés respectifs {1, phi, 1} et {1, 1/phi, 1}. Comme l'a découvert Roger Penrose, ces deux triangles peuvent être utilisés pour paver le plan d'une façon non périodique (chose que l'on a longtemps crue impossible) soit en les utilisant tels quels, soit en les regroupant par deux (de même nature) afin d'obtenir deux types de losange.

Pavage de Penrose pseudo-périodique du plan. Le nombre d'or (phi) peut être utilisé pour définir deux triangles isocèles de côtés respectifs {1, phi, 1} et {1, 1/phi, 1}. Comme l'a découvert Roger Penrose, ces deux triangles peuvent être utilisés pour paver le plan d'une façon non périodique (chose que l'on a longtemps crue impossible) soit en les utilisant tels quels, soit en les regroupant par deux (de même nature) afin d'obtenir deux types de losange.

Pavage de Penrose pseudo-périodique du Décagone d'Or. Le nombre d'or (phi) peut être utilisé pour définir deux triangles isocèles de côtés respectifs {1, phi, 1} et {1, 1/phi, 1}. Comme l'a découvert Roger Penrose, ces deux triangles peuvent être utilisés pour paver le plan d'une façon non périodique (chose que l'on a longtemps crue impossible) soit en les utilisant tels quels, soit en les regroupant par deux (de même nature) afin d'obtenir deux types de losange.

Structure géométrique simple et périodique. Les images calculées de ce type sont comme les lettres de l'alphabet qui peuvent ensuite être combinées entre elles pour former des mots ou des phrases. C'est-à-dire, dans ce contexte, des images d'une complexité arbitraire et croissante. Lorsqu'elles possèdent suffisamment de symétries, elles peuvent aussi être utilisées, par exemple à des fins décoratives, pour paver des morceaux de plans ou encore des surfaces.

Structure géométrique simple. Les images calculées de ce type sont comme les lettres de l'alphabet qui peuvent ensuite être combinées entre elles pour former des mots ou des phrases. C'est-à-dire, dans ce contexte, des images d'une complexité arbitraire et croissante. Lorsqu'elles possèdent suffisamment de symétries, elles peuvent aussi être utilisées, par exemple à des fins décoratives, pour paver des morceaux de plans ou encore des surfaces.

Entrelacs. Les images calculées de ce type sont comme les lettres de l'alphabet qui peuvent ensuite être combinées entre elles pour former des mots ou des phrases. C'est-à-dire, dans ce contexte, des images d'une complexité arbitraire et croissante. Lorsqu'elles possèdent suffisamment de symétries, elles peuvent aussi être utilisées, par exemple à des fins décoratives, pour paver des morceaux de plans ou encore des surfaces.

Crible d'Erathostène montrant 100 x 100 nombres premiers. Les cases d'un tableau 100 x 100 contiennent les 10 000 premiers nombres entiers : le nombre 1 est en bas à gauche et le tableau est rempli de gauche à droite, puis de bas en haut. Chaque nombre N est représenté par une petite sphère dont le rayon est proportionnel à la racine carrée du nombre de diviseurs de N. Les nombres premiers ne possédant que deux diviseurs (1 et eux-mêmes), ils sont donc visualisés par les sphères les plus…

Modélisation d'un paysage fractal : Monument Valley ensoleillée. La géométrie fractale permet la description mathématique de nombreux objets irréguliers de la nature et donc le calcul de tels objets. Cette vue présente un paysage très similaire à Monument Valley (Utah, USA), le relief ainsi que les légers nuages étant calculés à partir de nombres très aléatoires et de règles introduisant l'ordre nécessaire.

Autostéréogramme d'un volcan caché. Un autostéréogramme est une image faite initialement d'une texture verticale et périodique (tel un papier peint). Ensuite chacun de ses points est déplacé horizontalement d'une quantité proportionnelle à la profondeur Z d'un certain objet tridimensionnel. Observée de façon à ce que le regard ne soit pas convergent, mais parallèle, le cerveau réussit alors à récupérer en chaque point la profondeur Z et donc à voir l'objet tridimensionnel ainsi caché (dans cet…

Synthèse et évolution de formes végétales (chou-fleur, algue) réalisées à l'aide de la géométrie fractale.

Paysage fractal.

Synthèse de surfaces 3D.

Synthèse et évolution de formes végétales (chou-fleur, algue) réalisées à l'aide de la géométrie fractale.

Synthèse et évolution de formes végétales (chou-fleur, algue) réalisées à l'aide de la géométrie fractale.

Synthèse et évolution de formes végétales (chou-fleur, algue) réalisées à l'aide de la géométrie fractale.

Synthèse de surfaces 3D.

Synthèse de surfaces 3D. La modélisation mathématique permet de représenter les surfaces les plus complexes. La CAO (Conception assistée par ordinateur) est une des principales applications industrielles des recherches théoriques en modélisation géométrique : représentation et optimisation des surfaces dans les industries aéronautiques et automobiles par exemple.

Synthèse de surfaces 3D.

Synthèse de surfaces 3D.

Synthèse de surfaces 3D.

Synthèse de surfaces 3D.

Géométrie fractale. Zoom sur l'ensemble de Mandelbrot avec visualisation de l'exposant de Lyapunov.

Géométrie fractale. Ensemble de Julia calculé dans le corps des quaternions.

Géométrie fractale. Ensemble de Julia calculé dans le corps des quaternions.

Géométrie fractale. Exposant de Lyapunov calculé pour plusieurs nombres d'itérations différents (1 à 16) dans l'ensemble de Julia.

Géométrie fractale. Zoom sur l'ensemble de Mandelbrot avec visualisation de l'exposant de Lyapunov.

Géométrie fractale. Ensemble de Julia calculé dans le corps des quaternions.

Géométrie fractale 64 ensembles de Julia calculés autour de l'ensemble de Mandelbrot dans le corps des quaternions.